Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019

Всесибирская открытая олимпиада школьников официальные задания и ответы по математике 2018-2019. Олимпиада проводится в 3 этапа: отборочный очный, отборочный заочный и Заключительный.

Всесибирская олимпиада по математике задания и ответы 7 класс первый этап:

1) Вася нарисовал шестиугольник, а затем выбрал две его вершины и провёл через них прямую. Эта
прямая отрезала от шестиугольника семиугольник. Как такое могло быть?

2)Скучающий Юра сложил два числа и получил третье. Затем, он изменил каждую цифру в этом примере на 1 в ту или иную сторону (например, из числа 239 он мог получить число 148, но не мог получить 140). Мог ли новый пример оказаться верным?

3)В школе 1000 школьников и 35 классов. Каждому школьнику на лбу написали, сколько в его
классе учеников. Чему может равняться сумма чисел, обратных написанным? Перечислите все
варианты и докажите, что других нет. Напомним, что к числу a обратным является число 1/a.

4)Арсений сел за компьютер между 16 и 17 часами, когда часовая и минутная стрелки были
направлены в противоположные стороны, а встал из-за него в этот же день между 22 и 23 часами,
когда стрелки совпали. Сколько времени Арсений сидел за компьютером?

5)Несколько семиклассников решали задачи. Учитель не помнит, сколько было детей и кто из них сколько задач решил. Зато он помнит, что, с одной стороны, каждый решил больше, чем пятую от того, что решили остальные, а с другой стороны, каждый решил меньше, чем треть от того, что решили остальные. Сколько могло быть семиклассников? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике задания и ответы 7 класс второй этап:

1)Из 40 спичек сложили квадратную сетку 4 на 4 как показано на рисунке (каждый отрезок длины 1 – это одна спичка). Уберите 11 спичек так, чтобы оставшиеся не ограничивали ни одного прямоугольника.

2)У Арсения есть 10 столитровых вёдер, в которые налито 1, 2, 3, … 9, 10 литров воды соответственно. Арсению разрешается взять два любых ведра и перелить из первого во второе ровно столько воды, сколько уже есть во втором ведре. Может ли Арсений собрать всю воду в одном ведре?

3)Егор взял у Никиты в долг 28 рублей, а затем отдал их обратно четырьмя платежами. Оказалось, что Егор всегда возвращал целое количество рублей, а сумма выплаты каждый раз росла и нацело делилась на предыдущую. Какую сумму отдал Егор последней?

4)На поверхности пятиугольной пирамидки (см. рис.) в попарно различных точках живёт несколько гномиков, причём они могут жить как внутри граней, так и на рёбрах или в вершинах. Оказалось, что на каждой грани (включая вершины и рёбра, её ограничивающие) живёт разное число гномиков. Какое минимальное число гномиков живёт на пирамидке?

5)За круглым столом рассаживаются 47 депутатов из 12 различных регионов, причём они пытаются добиться того, чтобы среди любых 15 подряд сидящих людей были представители всех регионов. Смогут ли депутаты осуществить задуманное?

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 7 класс третий этап:

1)Несколько гномиков несли конфеты своему вождю Шмебулоку. По дороге каждый гномик украл и съел по одной конфете у каждого другого. В результате Шмебулоку принесли только 53 конфеты. Сколько конфет было у каждого гномика изначально, если известно, что у всех было поровну?

2)В треугольнике ABC угол A равен 60°. Точки M, N и Kлежат на сторонах BC, AC и AB соответственно, причѐм BK = KM = MN = NC. Оказалось, что AN = 2AK. Найдите углы B и C.

3)В городе модников живут 15 человек, каждый из которых носит по одной серѐжке в каждом ухе. Всего у них 10 медных серѐжек, 10 серебряных и 10 золотых. Однажды все жители встали в круг, и оказалось, что любые два соседа не носят серѐжек из одного материала. Какое максимальное количество человек в этом городе может носить две серѐжки из разных металлов?

4)Можно ли квадрат со стороной 8 см разрезать на 8 различных многоугольников, у каждого из которых площадь, выраженная в квадратных сантиметрах, в два раза меньше периметра, выраженного в сантиметрах? Многоугольники, получаемые друг из друга поворотом или переворотом, считаются одинаковыми.

5)В некоторой стране есть 2019 городов, любые два из которых соединены двусторонним рейсом одной из многочисленных авиакомпаний. Известно, что каждая авиакомпания обслуживает не более 2017 рейсов. Докажите, что найдутся три таких города, что все попарные рейсы между ними обслуживают разные авиакомпании.

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 8 класс первый этап:

1)Расставьте по кругу цифры от 1 до 9 таким образом, что любые две соседние цифры, если их прочитать по часовой стрелке, образуют составное двузначное число. Достаточно привести один пример.

2)В соревновании участвует 2018 команд по доте, все разной силы. В поединке между двумя командами всегда побеждает более сильная. Все команды побились на пары и сыграли одну игру. Затем разбились на пары другим образом и сыграли ещё одну игру. Оказалось, что ровно одна команда выиграла обе игры. Как такое могло быть?

3)Юра выбрал три целых попарно различных числа a, b, c. Затем сложил числа a и b и получил число c. Потом он перемножил числа b и c и получил a. Найдите все такие тройки чисел и докажите, что других нет.

4)В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B и углом A, равным 30, провели высоту BD.
Затем в треугольнике BDC провели медиану DE, а в треугольнике DEC – биссектрису EF. Найдите
отношение FC к AC.

5)Одиннадцать лучших футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному матчу. При этом оказалось, что каждая команда забила в первом матче 1 гол, во втором матче 2 гола, …, в десятом матче — 10 голов. Какое наибольшее количество сыгранных матчей могло закончиться вничью?

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 8 класс второй этап:

1)Из 40 спичек сложили квадратную сетку 4 на 4 как показано на рисунке (каждый отрезок длины 1 – это одна спичка). Уберите 11 спичек так, чтобы оставшиеся не ограничивали ни одного прямоугольника.

2)У Арсения есть 2018 вёдер, в которые налито 1, 2, 3, … 2017, 2018 литров воды соответственно. Арсению разрешается взять два любых ведра и перелить из первого во второе ровно столько воды, сколько уже есть во втором ведре. Может ли Арсений собрать всю воду в одном ведре? Все вёдра достаточно большие, чтобы вся вода в них могла влезть.

3)В равностороннем треугольнике ABC через случайную точку внутри него провели три прямые: параллельно AB до пересечения с BC и CA; параллельно BC до пересечения с AB и CA; параллельно CA до пересечения с BC и AB. Докажите, что сумма трёх полученных отрезков равна удвоенной стороне треугольника ABC.

4)По кольцевой дороге бегают Никита и Егор, стартовавшие из одного места в противоположные стороны. Известно, что Никита пробегает круг на 12 секунд быстрее, чем Егор, но всё равно тратит на это больше 30 секунд. Оказалось, что в седьмой раз после старта они встретились в том же месте, откуда начали. За какое время каждый из них пробегает круг?

5)За круглый стол сели 410 депутатов, причём каждый из них являлся либо рыцарем, который всегда говорит правду, либо лжецом, который всегда лжёт. Каждый из депутатов сказал: “Среди моих двадцати соседей слева и двадцати соседей справа в сумме ровно 20 лжецов”. Известно, что за столом по крайней мере половина людей – лжецы. Сколько за столом рыцарей?

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 8 класс третий этап:

1)Юра задумал четыре числа и выписал на доску все их попарные суммы. Когда Юра отвернулся, Сева стѐр одну из сумм, после чего на доске остались написаны числа 19, 21, 22, 26 и 28. Какое число было стѐрто?

2)Про число N известно, что оно равно произведению десяти простых чисел (не обязательно различных). Кроме того, оказалось, что если каждый из этих десяти множителей увеличить на единицу, то полученное произведение будет делиться на N. Чему может быть равно N?

3) Про 𝑛 > 2 точек на плоскости известно, что любые три из них можно накрыть треугольником площади не более 1 см2 (разные тройки, возможно, разными треугольниками). Докажите, что все точки можно одновременно накрыть треугольником площади не более 4 см2.

4)В выпуклом четырѐхугольнике ABCD известно, что AD = BC и ∠ADB + ∠ACB = ∠CAB + ∠DBA = 30°. Докажите, что из отрезков DB, CA и DC можно составить прямоугольный треугольник.

5)Пусть m и n– нечѐтные натуральные числа. Каждую клетку таблицы из m строк и n столбцов покрасили в жѐлтый или синий цвет. Назовѐм строку в этой таблице желтоватой, если в ней больше жѐлтых клеток, чем синих. Назовѐм столбец синеватым, если в нѐм больше синих клеток, чем жѐлтых. Чему равно наибольшее возможное общее количество желтоватых строк и синеватых столбцов?

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 9 класс первый этап:

1)Из пунктов А и Б навстречу друг другу с постоянными скоростями одновременно выехали соответственно мотоциклист и велосипедист. Спустя 20 минут после старта мотоциклист оказался на 2 км ближе к Б, чем середина АБ, а спустя 30 минут велосипедист оказался на 3 км ближе к Б, чем середина АБ. Через сколько минут после старта встретились мотоциклист и велосипедист?

2)Может ли число, оканчивающееся на 222, быть нетривиальной степенью некоторого
натурального числа, то есть представляться в виде y x , где x, y  1- натуральные числа?

3)Вася должен на каждой грани нескольких кубиков написать по одной цифре так, чтобы любую упорядоченную комбинацию из трёх цифр от 000 до 999 включительно можно было получить, выбрав некоторых три различных кубика и положив их подходящими сторонами вверх в нужном порядке. При этом цифры 6 и 9 при повороте на 180 градусов не считаются переходящими друг в друга. Какое минимальное количество кубиков должен использовать Вася?

4)На стороне АС треугольника АВС выбрана точка Р такая, что РС=2АР. Точка О – центр вписанной окружности треугольника РВС, Е – точка касания этой окружности с прямой РВ. Оказалось, что РВ=ВС. Доказать, что прямая АЕ параллельна прямой РО.

5)На доске записаны 10 чисел: 1,2,3,4,4,5,5,11,12,13. С ними можно производить операции двух типов: либо из любых девяти из них вычесть 1, а к оставшемуся прибавить 9, либо наоборот, из одного вычесть 9, а к остальным прибавить по 1. При этом отрицательные числа получать нельзя. Можно ли, применив несколько таких операций, сделать все десять чисел разными?

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 9 класс второй этап:

математика 9 класс

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 9 класс третий этап:

воош математика 9 класс

1)Найти максимальное количество последовательных трѐхзначных чисел, в записи каждого из которых есть хотя бы одна нечѐтная цифра.

2) На продолжении медианы АМ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС за точку М взята точка Р такая, что угол СВР равен углу ВАР. Найти величину угла АСР.

3)Вася и Петя по очереди красят в синий и красный цвета вершины правильного 100-угольника. Вася красит в синий любую не окрашенную на момент его хода вершину, у которой ни одна из двух соседних вершин не окрашена к этому моменту в синий цвет, а Петя красит в красный любую не окрашенную на момент его хода вершину. Вася ходит первым. Какое максимальное количество вершин он всегда может окрасить в синий цвет, как бы ни мешал ему Петя?

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 10 класс первый этап:

1)Найти все числа a и b , для которых равенство | ax + by | + | bx + ay |=| x | + | y | выполнено при всех значениях переменных x и y .

2)Найти все пары натуральных чисел x и y таких, что их наименьшее общее кратное равно 1+ 2x + 3y .

3)Найти количество различных способов расстановки 8 ладей в клетках шахматной доски 8 на 8 таких, чтобы каждая клетка доски находилась под боем хотя бы одной из них. Ладьи могут бить друг друга, ладья бьёт все клетки горизонтали и вертикали, в которой она стоит, включая саму клетку, в которой стоит

4)Пусть для положительных чисел a,b,c, x, y,z выполнены соотношения:0 2 ac − b  и az − 2by + cx = 0 . Доказать, что тогда 0 2xz− y .

5)Доказать, что разность длин диагонали A1A4 и стороны A1A2 правильного десяти угольника 1 2 3 10 AA A…Aравна радиусу его описанной окружности. Десятиугольник называется правильным, если все его углы равны между собой и все его стороны равны между собой.

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 10 класс второй этап:

1)Найти все четырёхзначные числа xyzt , где все цифры x, y,z,t различны и не равны 0, такие, что сумма всех четырёхзначных чисел, получаемых из xyzt всевозможными перестановками цифр, в 10 раз больше числа xxxx .

2)Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

3)Найти все натуральные числа n такие, что квадрат размера n на n клеток можно разрезать по линиям сетки на одноклеточный квадратик и четыре прямоугольника, все девять размеров сторон которых попарно различны.

4)Вне параллелограмма АВСD взята точка М такая, что угол МАВ равен углу МСВ и оба треугольника МАВ и МСВ расположены вне параллелограмма АВСD. Доказать, что угол AMВ равен углу В равен углу DMВ равен углу C.

5)По кругу записаны 32 числа 1 2 32 a ,a ,…,a , каждое из которых равно -1 или 1. За одну операцию каждое число an ,n 1,2,…,32 заменяют на произведение an an1 его и следующего за ним по циклу числа, при этом индексы рассматриваются циклически, 33 1 34 2 a a ,a a .и так далее. Докажите, что для любого начального набора чисел 1 2 32 a ,a ,…,a после некоторого конечного числа операций всегда получится набор из 32 единиц. Найдите наименьшее число N операций такое, что после применения N операций из любого начального набора чисел всегда получится набор из 32 единиц.

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 10 класс третий этап:

1)Множество А содержит 15 различных натуральных чисел, не превосходящих 100, одно из которых равно 84, и обладает следующим свойством: модуль разности любых двух различных чисел из А снова содержится в А. Доказать, что А обязательно содержит число 42.

2)Четырѐхугольник ABCD вписан в окружность и длины сторон BC и DC равны, а длина стороны AB равна длине диагонали AC. Пусть точка Р – середина дуги CD, не содержащей точку А, и Q – точка пересечения диагоналей АС и BD. Доказать, что прямые PQ и AB перпендикулярны.

математика 10 класс

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 11 класс первый этап:

1)Параболы Р и S являются графиками функций 2 y =kx и , 0 2 y =kx +b b соответственно. Доказать, что любая хорда параболы P, касающаяся параболы S, делится этой точкой касания на два равных отрезка.

2) Найти количество пятизначных чисел, у которых в записи содержатся две цифры, одна из которых делится нацело на другую.

3) На сторонах АВ и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М и Р такие, что отрезок РМ параллелен стороне ВС. Из точки М восстановлен перпендикуляр к прямой АВ, а из Р восстановлен перпендикуляр к АС, их точку пересечения обозначена за Т. Доказать, что точки А, Т и О – центр описанной окружности треугольника АВС – лежат на одной прямой.

4)Пусть a,b,c произвольные числа из интервала (0,1) . Доказать, что одно из трёх произведений a(1− b),b(1− c),c(1− a) всегда не больше 1/4.

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 11 класс второй этап:

1)Какой цифрой может заканчиваться число f (x) 2x3x5x , где x – произвольное положительное действительное число? Здесь xобозначает целую часть числа x , то есть наибольшее целое число, не превосходящее x .

2)Найти все целые числа n такие, что число 15 2 1 2 n n является степенью двойки.

3)Найти максимальное натуральное число А такое, что при любой расстановке всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно в ряд в некотором порядке всегда найдутся десять последовательно расположенных чисел, сумма которых не меньше А..

4)На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята произвольная точка М, через неё проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника, пересекающие стороны АВ и ВС в точках Р и Т соответственно. Доказать, что точка Е, симметричная М относительно прямой РТ, лежит на описанной окружности треугольника АВС.

Посмотреть решения и критерии оценивания

Всесибирская олимпиада по математике Задания и ответы 11 класс третий этап:

1)Вася и Петя по очереди красят в синий и красный цвета клетки доски размера 10 на 10 клеток. Вася красит в синий любую не окрашенную на момент его хода клетку, у которой ни одна из соседних по стороне клеток уже не окрашена в синий цвет, а Петя красит в красный любую не окрашенную на момент его хода клетку. Вася ходит первым, какое максимальное количество клеток он всегда может окрасить в синий цвет, как бы ни мешал ему Петя?

2)В прямоугольном треугольнике АВС точка М – середина гипотенузы ВС, а точки Р и Т делят катеты АВ и АС в отношении АР:РВ=АТ:ТС=1:2. Обозначим за К точку пересечения отрезков ВТ и РМ, за Е – точку пересечения отрезков СР и МТ, и за О – точку пересечения отрезков СР и ВТ. Доказать, что четырѐхугольник ОКМЕ – вписанный.

математика 11 класс

Посмотреть решения и критерии оценивания

Смотрите также на нашем сайте онлайн:

ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы